Народився Юрій Феодосійович у Дніпродзержинську на Дніпропетровщині в сім'ї учителів. Дитинство його пройшло на берегах Славути і на Уралі, а шкільні роки — серед розкішної природи Карпат. Міцно вкарбувалися в пам'яті хлопчика розповіді великого знавця старовини, академіка Дмитра Івановича Яворницького, який часто бував у Ярмишів.

Свій творчий шлях Ю. Ярмиш розпочав з віршів, хоча потім перейшов на прозу. Перші поетичні спроби п'ятнадцятирічного школяра почули київські поети Дмитро Білоус, Василь Швець, Борислав Степанюк, які схвально відгукнулися про них. Через деякий час вірші Юрія були надруковані в газеті. Саме ці події, мабуть, і зумовили вибір навчального закладу — Київський університет (факультет журналістики).

Після закінчення університету Ю. Ярмиш був направлений у Крим, де працював у книжковому видавництві. Готуючи путівники по Судаку, Ялті, Сімферополю та інших містах області, Юрій Феодосійович знайомився з історією краю, казковою природою півострова.

Першу збірку «Вітрисько» було опубліковано 1960 року в Криму. А потім були книжки «Чудесні моря», «Казка стукає у двері», «Живі малюнки», «Маленькі казки», «Чарівні струмки», «Цікавий промінець», «Лебедина казка», «Капітанова люлька», «Золотий кораблик», «Сонечко», «їжачок і Соловейко», «Вовчі окуляри», «Весела мандрівка», «Живі малюнки», «Великий мисливець», «Чарівні ліки», «Лісові балакуни» та інші. Загалом Ю. Ярмиш видав більше 50 збірок казок, які перекладено 15 мовами.

Після повернення до столиці молодий письменник очолював журнал «Піонерія», а згодом редагував «Радугу». Нині Юрій Феодосійович —- професор Інституту журналістики Національного університету ім. Тараса Шевченка (м. Київ), автор низки публікацій з проблем дитячої літератури та літературної казки.

Юрієві Ярмишу доводилось багато подорожувати. Він побував в Англії, Канаді, США, на Балканах, кілька разів відвідав Індію, враження про яку описав у творі «По дорогах Індії».

Як казкар Ю. Ярмиш відомий не лише в нашій країні. У Санкт-Петербурзі видано антологію найкращих казок сучасних письменників країн Співдружності Незалежних Держав, у якій вміщено по одному-два твори кожного автора, а Ю. Ярмиша — аж 16 казок.

Друзі жартома називають його «українським Андерсеном». І це не випадково. Ім'я українського казкаря Ю. Ярмиша посіло одне з чільних місць серед письменників, які пишуть для дітей і про дітей.

У 2001 році за цикл новел-фантазій Юрію Феодосійовичу присуджено літературну премію імені Юрія Яновського.